計算モデル（メッシュ）優秀だと、偏微分計算に有利 逆は逆 それを記載せぬ書籍が多く注意
XやYでの偏微分は、座標軸に平行な、直交直角地点の物理量勾配。多変数における微分。
微分と似たものですが、 『微分より、制約条件超厳しく、超注意』 そんな落とし穴あり。
直交-直角地点に、物理量データ存在しないと、偏微分計算困難。力学分野は、勾配の勾配＝直交物理量の差の差 シビア神経質な2階偏微分（テンソル）計算必須。
制約条件満たす点群元だと、直交直角地点に物理量データ存在 ⇒ 偏微分たる直交物理量勾配を、定義通りバッチリ計算可
じゃない点群元だと、直交地点に物理量データ存在せず＆定義通り（XやYで）偏微分できず。
直交メッシュでない場合、偏微分に必要なデータ揃わず、仕方なく、直交直角箇所の物理量勾配を、平均計算を使い計算せざるを得ず
メッシュ細かくすれば大丈夫 多い意見ですが 細かいと直角に近づく訳でなし＆要素毎の偏微分計算用データ揃う訳でなく
直角地点に点データ存在せぬ事は変わらずに見えます （直交メッシュ以外は…）
直交メッシュ以外は、2個以上の勾配ベクトル合成＆平均処理 にて偏微分計算（定義通りの計算にならず）
その偏微分計算に混入する（本来実施すべきでない 節点間にて均等増分な物理量分布前提）平均計算は、テーラ展開応用故、
「テーラー展開が基礎です」 それって、偏微分定義通りの計算でなく（偏微分対象でない別変数データ利用＆変数独立性守らず）OKなのか？
『痛い落とし穴あり』『実用まで到達できない』『それが幾何の偏微分』 判り良く教科書に記述なら助かるのですが…
工学書に、多々記述される偏微分 ∂x ∂y ∂z 実は解く策なし。微分同様手法でしか解けず=偏微分の定義守れぬ状況が想定外=痛い問題
離散計算は、例えば∂yを、dxdy組合せ計算、変数独立性無視な変則 （想定外を実施しないと実用到達せず⇒基本逸脱＆解不安定等で問題）
高校レベルの数学で、止まちゃってる人は、そんなに心配せずでOK 概して実用数学は中学高校レベル ⇒ （堅実で）問題なし
一方、大学の数学は… 工学諸分野で必須な、応力-歪のテンソル解く数学は、数学授業で学べず。（解けないので教えようがない）
テーラー展開は１変数限定＆微分のみOK＆偏微分だと× （離散計算は数学上不完全）偏微分解く完全策なし=痛い数学弱点
テ-ラ-展開のように、多変数対応できず、（力学分野で）応用性欠く実用到達せぬ理論が、基礎として君臨 変な体質は治らぬか？
又 デザインCGグラデーション画は、一階偏微分（Gradient）応用だが、Gradient理解者が、美しいCG画を描ける訳でなし。
「幾何偏微分は多々厄介で注意」 教科書に記載すべき思います。数学における最大の弱点＆落とし穴 そんな気がしますが…
積分-行列計算等は完全。偏微分のみ問題な筈（直交格子除き偏微分必須条件（定義でもある）たる変数独立性守れぬ状況発生） 数学の痛い弱点
『イタタッ』 てな風に、短所は判り易く示して欲しい気がします。
『１変数でしか使えぬ基礎たりえぬ応用利かぬ理論が、大学数学の基本として君臨』アチャ～な実体に注意
多変数のテーラー展開は、偏微分が出て来て、元になる点群に直交性必須 それを、判り良く紹介したかったのですが、意外に、
テーラー展開が難しく、（その限界を示す）簡単明解な説明は、今後の課題に…
時間）積分、行列式等の数学は完全思いますが、FEM等の離散計算の数学は問題。元来、独立変数で実施すべき偏微分を、
（直交線上にない）独立せぬ変数データ元に計算する変則（変数独立性満たさぬ、怪しい偏微分計算伴い、数学書は未記載）
近似基礎テーラー展開は、高校数学レベルの簡単な一変数限定 正しい正統的数学では、直交格子までが限界に見えます
『１変数限定（テンソルは解けず）応用利かぬ理論が数学の基本として君臨』 多大な社会損失か、数学の限界で仕方なしか？
微分（dX等で記述される）は計算できるが、幾何の偏微分（∂X）は計算できず。それが数学の限界思います。
テイラ-展開を、２変数以上に拡張すると、偏微分（例えば∂X ∂Y）が出現してしまう。直交格子でのみ一変数dXやdYに同じとみなせる
偏微分＝直交直角向勾配(複数成分) を直交せぬ点群元に計算＝数学的に正しい計算策がない（点群に平行な方向、微分勾配計算までは可能）
点群向き方向、微分勾配計算までは計算可 （直角でない斜め向のテイラー展開のみ可。実際それを計算）実用十分いう事も多く、大変微妙ですが
直交メッシュ以外、偏微分の定義通りの計算不可で注意 （直交格子以外だと、偏微分Y成分を、X成分使って計算… 変数独立性に反する）
直交メッシュなら、（座標軸に沿うテイラー展開での微分で）偏微分を定義通り計算可。
テクニックに頼ると偏微分でなくなる（定義逸脱） そこが勉強の限界な感。打破できるか？ 打破すると偏微分でなくなるパラドクスがあるか？
テンソル計算（力学全域に影響及び致命的） グラデーション計算行う３Dポリゴンデザイン分野 そこらは、幾何偏微分解く理論不完全で注意
後者3Ｄグラデーション画は ⇒ 粗悪モデルだと勾配または法線ベクトルが乱れ画質悪化 ⇒ メッシュ増加 又は調整 で解消
前者テンソルは、２階偏微分必須。３Dグラデーション計算よりもシビア＆神経質で注意。 テンソルは、工学全域に関わり重大
（直交物理量の差の差の計算）二階偏微分必須で超難「テンソルは、(完全には)解けません」程度は、教科書に記述して欲しい。でないと…
テイラー展開は、有用性-応用性ｰ拡張性ｰ融通性高いが故、数学における基本として重視されている（筈） そう勘違ってしまう。
離散化では、幾何偏微分を、直角向でない、点の並び方向から計算せざるを得ず、テイラー展開で（直交勾配たる）偏微分は解けず
その解釈が妥当な筈。（アイソパラメトリック要素では、点並び向にテイラー展開を使うが、直交勾配に変換する変則技も利用）
「直交勾配への変換技まで、数学的に正しい」 思っている人が多いかも… 直角向でない斜め方向からの（回転写像含まぬ）変則変換技ですが…
テイラー展開=１変数限定理論。敢えて、2変数以上なら、（軸に平行な勾配成分）例えば ∂X ∂Y 計算必須。点群が軸に平行＆直交分布でないと厳密計算困難
それが出来てない）怪しい手法ながら、離散計算アプリは普及＆実用済。実は、理論云々は、後回し。製品化＆マーケット支配が先 ？
理論完全化を待っていては、又は、数学上厳密な範囲内に終始していては、実用到達せず＆成果得られず＆出遅れ間に合わず？ 具体的には…
ξ-η⇔X-Y 離散計算に必須。上式はテーラ展開応用ともいえるが、ξ-η直交直角が上記等式必須成立条件。だと直交メッシュ限定
ξ-η直交せぬ変則系で自在形状に適応させる手法が離散計算理論。実はξ-η直角以外は正確な等式成立でない＆正しい数学でない
テイラー展開超える、使える理論打立てねばならない。が出来てない。微分は解ける＆偏微分は解けず。だと工学では欠陥
基礎として欠陥なテイラー展開が君臨せざる得ず＆対処策見出せずズルズル… そこが数学の（超痛い）致命的限界！？
『大変痛いッ！』 判り良く書籍に書いて欲しい感。限界ある理論を根幹に据えねばならぬ。それしか策なしか？ 仕方なしか？
数学的に正しく偏微分できるのは、直交メッシュのみ 数学バッチリできても幾何の偏微分は解けず
毎度似たブログ内容。まぁ、更に判り良く、図を改良。洗練させれば、理解促進 （逆に、ゴチャゴチャ風＆判り難い？ 毎回試行錯誤）
何を、理解願うのか？ 数学で可能な範囲超えて、テクニックで誤魔化す風。離散計算独特の偏微分計算 それを理解願いたいのですが。
難解な専門書より、超理解できる事を狙ってますが。 偏微分の定義上、元のデータ節点群が駄目だと、その計算は、テクニックで補えぬ筈
本来は偏微分不可。無理に偏微分（節点間で物理量は均等増分など、前提条件と共に三角形単位で三角の勾配求めるイメージ）
（本来不要な、緩い拘束かかってる風）仮定前提条件必須で注意。仮定前提条件なし⇒直交箇所にデータなく解けず。直交格子のみ解ける。
コンピュータ計算故、大体解ければ〇。伝熱 静磁場 低Re数 等は粗悪メッシュで十分〇。数学的に完全なら、コツコツモデル化不要。
大規模真っ黒メッシュで皆解決になりCAE技術者不要化ですが、そうは行かぬ現実に注意。（メッシュレス計算も一部のみ）
直交メッシュ除き）何らか条件付けて、（直交せぬ箇所から）直交箇所（上図●や●）のデータを合成。そうしないと解けず。
それで求めたものは（上図：三角勾配）偏微分なのか？ 頂点①が直角なら偏微分。直角でない場合は、偏微分にならぬ筈ですが、
計算分野では、偏微分とみなし、ヤコビアンの変換等式成立とする。本当は、角度①が直角でない場合、写像変換等式不成立な筈
節点間物理量均等増分前提で（直交せぬ箇所から）直角位置物理量求めて変換等式成立⇒偏微分といえるか怪しい
数学の限界超えた事をしないと、自在な形状領域にて偏微分できず。幾何の偏微分を扱う分野は、要注意思います。
数学的に正しく（余計的な仮定前提制約条件なしで）偏微分できるのは、節点並びが直交してる場合のみ思います。
頂点①が直角でなく、ξ-η直交せぬ場合、局所⇔全体系 変換式成立せず。（離散計算分野は、それは記載せぬルールで注意）
ですので、『もっと数学ができれば…』 離散計算に関して、正しいような、正しくないような感。
グラデーション（Gradient計算）行う3Dデザインも同じ。数学達者が、ガンガン３Dデザインできる訳でなし。
幾何偏微分が、良好に解けるモデル化必須。その技術は（数学的に）未確立。意外に、数学達者は、モデリング苦手だったりします。
『数学ができれば…』工学計算だと直交格子ならば、その見解は正しい思います。幾何の偏微分に関して、意外に数学に限界あり
全般、応用性に富む数学が展開されている風（装いに過ぎずか？）。工学分野の数式や理論は、素晴らしく見えるが、その実態は、
（際どい怪しい前提条件伴う）テクニックなしでは、実用応用に到達できず。
上図のようなテクニック的なものに頼ると、直角位置の物理量求める平均処理が混入。（偏微分に近いものを計算してはいますが）偏微分の定義逸脱で注意
直交メッシュだと、処理が諸々キャンセル化（テクニック未使用となり）差分法もFEMも、どの手法も同一処理内容＆結果になるのですが…
本ページ記載内容 と メッシュ直交せぬ状況で起こるシュワルツ提灯現象 は、大学1-2年で教えられるべき＆学ぶべき、数学の（超）基本基礎と感じます
基本基礎踏まえ、実用上有用な数学が、展開されているのか？ 直交メッシュ以外の離散計算は、数学として確立できてなく注意思います。
数学基本踏外した手法故、FEM等の離散化法は、数学書に記載なし（数学書記載の正統的近似基礎理論）テイラー展開は、直交格子限定＆実用応用に到達できず
（工学計算は近似であり、不完全でOKではありますが） 離散化理論の不完全さに注意＆実用応用まで到達できぬ基礎に注意