ピアソンの積率相関係数

ピアソンの積率相関係数　　　　　Last modified: Nov 07, 2002

例題：

　「表 1 において，変数 $X$と変数 $Y$の間のピアソンの積率相関係数を求めなさい。」

表 1．二変数データ
$i$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
変数 $X_{i}$	2.8	3.4	3.6	5.8	7.0	9.5	10.2	12.3	13.2	13.4
変数 $Y_{i}$	0.6	3.0	0.4	1.5	15.0	13.4	7.6	19.8	18.3	18.9

計算手順：

2 変数 $X$，$Y$ が $n$ 組あるとする。
ピアソンの積率相関係数 $r$ は，「変数 $X$と変数 $Y$の共分散」と「それぞれの変数の標準偏差」から求められる。
\[ \begin{align*} r &= \frac{\text{変数}X\text{と変数}Y\text{の共分散}}{\text{変数}X\text{の標準偏差} \times \text{変数}Y\text{の標準偏差}Y} \\ &= \frac{\displaystyle \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n \left ( X_i-\bar{X} \right )\ \left ( Y_i-\bar{Y} \right )}{\sqrt{\displaystyle \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n \left ( X_i-\bar{X} \right )^2} \sqrt{\displaystyle \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n \left ( Y_i-\bar{Y} \right )^2}} \end{align*} \] 例題では，共分散 $Cov._{XY} = 30.04222222$，変数 $X$の標準偏差 $S.D._{X} = 4.150448436$，変数 $Y$の標準偏差 $S.D._{Y} = 8.082938135$ より，$r = 0.895504509$ となる。
- 相関係数が正の場合「二変数には正の相関関係がある」という（正相関）
- 相関係数が負の場合「二変数には負の相関関係がある」という（負相関）
- 相関係数が $0$ に近いとき「二変数は無相関である」という
相関係数の大きさと散布図の関係のアニメーション表示，または，ムービー

注：

どちらか一方（または両方）の変数の分散が 0 のとき（すなわち全てのケースが同一の値をとる場合）には，相関係数は定義できない。

相関係数の解釈は表 2 のように行う。母相関係数 = 0 の検定結果と，変数間の相関が実質的に意味があるかどうかは無関係である。

表 2．相関係数の解釈
相関係数の絶対値	解釈
$0.0$～$0.2$	ほとんど相関関係がない
$0.2$～$0.4$	やや相関関係がある
$0.4$～$0.7$	かなり相関関係がある
$0.7$～$1.0$	強い相関関係がある

いくつかの飛離れた値${}^{*1}$が存在する場合には，それらの値に引きずられて，不当に高い相関係数が得られる。このような場合には順位相関係数を使用したほうがよい。
＊1：このようなデータは測定の誤り，誤記，誤入力等による場合と，実際にそのような値が存在する場合がある。多くの場合，異常値と呼ばれるが，外れ値と呼ぶ方が適切な場合もある。
曲線相関の場合には順位相関係数を使用したほうがよい。極端な場合であるが，$Y = X^{2}$ の関係がある場合に，順位相関係数は $1$ になるが，ピアソンの積率相関係数は $1$ にはならない。
散布図において，観測データが直線的な増減傾向を示しているときには，これらの点の近くを通る直線（回帰直線）を求めることがある（重回帰分析，直線回帰も参照のこと）。
回帰直線の傾き $a$ と切片 $b$ は，次式で求めることができる。 \[ \begin{align*} a &= \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^n \left ( X_i-\bar{X} \right )\ \left ( Y_i-\bar{Y} \right )} {\displaystyle \sum_{i=1}^n \left ( X_i-\bar{X} \right )^2} \\ b &= \bar{Y}-a\ \bar{X} \end{align*} \]

図 1．変数 $X$を用いて変数 $Y$を予測する回帰直線

独立変数が $X$ という値をとるとき，予測値 $\hat{Y}$ の期待値 $\mu$ の $(1-\alpha)100\%$ 信頼限界は，自由度が $\nu= n - 2$ の $t$ 分布において，上側確率が $\alpha\,/\,2$ になる値を $t_{\alpha/2,\ \nu}$，誤差分散を $V_{e}$ としたとき，以下のように求めることができる。

\[ \begin{align*} & \hat{Y} - t_{\alpha/2,\ \nu}\ \sqrt{V_{e}} \sqrt{\frac{1}{n}+\frac{ \left ( X-\bar{X} \right )^2}{\displaystyle \sum_{i=1}^n \left ( X_i-\bar{X} \right )^2}} \tag{下限値}\\ & \hat{Y} + t_{\alpha/2,\ \nu}\ \sqrt{V_{e}} \sqrt{\frac{1}{n}+\frac{ \left ( X-\bar{X} \right )^2}{\displaystyle \sum_{i=1}^n \left ( X_i-\bar{X} \right )^2}} \tag{上限値} \end{align*} \] ちなみに，$V_{e}$ は回帰の分散分析における「残差平均平方」のことである。 \[ V_e = \frac{1}{n-2}\ \left [ \sum_{i=1}^n \left ( Y_i-\bar{Y} \right )^2 - \frac{\left \{ \displaystyle \sum_{i=1}^n \left ( X_i-\bar{X} \right )\ \left ( Y_i-\bar{Y} \right ) \right \}^2} {\displaystyle \sum_{i=1}^n \left ( X_i-\bar{X} \right )^2} \right ] \] 母集団に属する新たな成員 $X$ に対する予測値の信頼区間は，以下のようになる。 \[ \begin{align*} & \hat{Y} - t_{\alpha/2,\ \nu}\ \sqrt{V_{e}} \sqrt{1+\frac{1}{n}+\frac{ \left ( X-\bar{X} \right )^2}{\displaystyle \sum_{i=1}^n \left ( X_i-\bar{X} \right )^2}} \tag{下限値}\\ & \hat{Y} + t_{\alpha/2,\ \nu}\ \sqrt{V_{e}} \sqrt{1+\frac{1}{n}+\frac{ \left ( X-\bar{X} \right )^2}{\displaystyle \sum_{i=1}^n \left ( X_i-\bar{X} \right )^2}} \tag{上限値} \end{align*} \]

演習問題－１：

　「表 3 は 2 変数 $x$，$y$ の 10 組のデータです。$(21, 25)$ は他のデータ組と異なり，極端に大きな値をとる。この外れ値を含めた場合と含めない場合について，ピアソンの積率相関係数，スピアマンの順位相関係数，ケンドールの順位相関係数を計算し，相互に比較しなさい。」