メルストのあんスタコラボでコラボユニットコンプする期待値を計算してみた2

前回で、 p_{mn} :10連で n 人引いたとき、コラボユニットを m 人所持している確率が
について
\overrightarrow{p_{n}}=\left(\begin{array}{c}p_{n0}\\p_{n1}\\p_{n2}\\p_{n3}\\p_{n4}\\\end{array}\right),A=\left(\begin{matrix}1-r&0&0&0&0\\r&1-\frac{3}{4}r&0&0&0\\0&\frac{3}{4}r&1-\frac{2}{4}r&0&0\\0&0&\frac{2}{4}r&1-\frac{1}{4}r&0\\0&0&0&\frac{1}{4}r&1\end{matrix}\right)
とすると
 0\lt n\lt 10のとき
\overrightarrow{p_n}=A\overrightarrow{p_{n-1}}と表せることが分かった。

行列Aを対角化しよう

対角化とは

行列Aに、ある行列Pを右から、P逆行列を左からかけて、
 P^{-1}AP=\left(\begin{matrix}\lambda_0&0&0&0&0\\0&\lambda_1&0&0&0\\0&0&\lambda_2&0&0\\0&0&0&\lambda_3&0\\0&0&0&0&\lambda_4\end{matrix}\right)
の形にすることを行列の対角化といい、この対角線上以外の項が0である行列を対角行列という。
 P^{-1}AP=Dとすると、
D^{n}=\left(\begin{matrix}\lambda_0&0&0&0&0\\0&\lambda_1&0&0&0\\0&0&\lambda_2&0&0\\0&0&0&\lambda_3&0\\0&0&0&0&\lambda_4\end{matrix}\right)^{n}=\left(\begin{matrix}\lambda_0^{n}&0&0&0&0\\0&\lambda_1^{n}&0&0&0\\0&0&\lambda_2^{n}&0&0\\0&0&0&\lambda_3^{n}&0\\0&0&0&0&\lambda_4^{n}\end{matrix}\right)
という性質を使うことで、
 A^{n} = \left(PDP^{-1}\right)^{n} =  PD^{n}P^{-1}
が簡単に計算できるようになる。

固有値を求める

行列を対角化する際には、
 A\overrightarrow{x}=\lambda\overrightarrow{x}
となる固有値\lambda固有ベクトル\overrightarrow{x}を求める必要がある。
今回、行列 Aは5次の正方行列なので、固有値固有ベクトルは5つずつ存在する、はず。
固有値は行列  A-\lambda E行列式が0となる  \lambdaを計算することで求められる。

\det(A-\lambda E)=\begin{bmatrix}1-r-\lambda&0&0&0&0\\r&1-\frac{3}{4}r-\lambda&0&0&0\\0&\frac{3}{4}r&1-\frac{2}{4}r-\lambda&0&0\\0&0&\frac{2}{4}r&1-\frac{1}{4}r-\lambda&0\\0&0&0&\frac{1}{4}r&1-\lambda\end{bmatrix}=0\\\Leftrightarrow(1-r-\lambda)(1-\frac{3}{4}r-\lambda)(1-\frac{2}{4}r-\lambda)(1-\frac{1}{4}r-\lambda)(1-\lambda)=0\\\Leftrightarrow\lambda=1-r,\,1-\frac{3}{4}r,\,1-\frac{2}{4}r,\,1-\frac{1}{4}r,\,1

これで、
\lambda_0=1-r,\,\lambda_1=1-\frac{3}{4}r,\,\lambda_2=1-\frac{2}{4}r,\,\lambda_3=1-\frac{1}{4}r,\,\lambda_4=1
の5つの固有値が得られたので、それぞれに対する固有ベクトル
\overrightarrow{x_0},\,\overrightarrow{x_1},\,\overrightarrow{x_2},\,\overrightarrow{x_3},\,\overrightarrow{x_4}
を求めていく。

固有ベクトルを求める。

\overrightarrow{x_n}=\left(\begin{array}{c}x_{n0}\\x_{n1}\\x_{n2}\\x_{n3}\\x_{n4}\\\end{array}\right)
とする。
固有ベクトル
\left(A-\lambda_n E\right)\overrightarrow{x_n}=\overrightarrow{0}
を解くことで得られる。

\lambda_0に対する\overrightarrow{x_0}を求める。

\lambda_0=1-r\left(A-\lambda E\right)\overrightarrow{x}=\overrightarrow{0}に代入すると
\left(\begin{matrix}0&0&0&0&0\\r&\frac{1}{4}r&0&0&0\\0&\frac{3}{4}r&\frac{2}{4}r&0&0\\0&0&\frac{2}{4}r&\frac{3}{4}r&0\\0&0&0&\frac{1}{4}r&r\end{matrix}\right)\left(\begin{array}{c}x_{00}\\x_{01}\\x_{02}\\x_{03}\\x_{04}\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\\0\\0\\\end{array}\right)

\Rightarrow\begin{cases}rx_{00}+\frac{1}{4}rx_{01}=0\\\frac{3}{4}rx_{01}+\frac{2}{4}rx_{02}=0\\\frac{2}{4}rx_{02}+\frac{3}{4}rx_{03}=0\\\frac{1}{4}rx_{03}+rx_{04}=0\\\end{cases}

x_{00}=tと置くと
 x_{01}=-4t,\, x_{02}=6t,\, x_{03}=-4t,\, x_{04}=t
よって

\Rightarrow\overrightarrow{x_0}=\left(\begin{array}{c}x_{00}\\x_{01}\\x_{02}\\x_{03}\\x_{04}\\\end{array}\right)=t\left(\begin{array}{c}1\\-4\\6\\-4\\1\end{array}\right)

\lambda_1に対する\overrightarrow{x_1}を求める。

\lambda_1=1-\frac{3}{4}r\left(A-\lambda E\right)\overrightarrow{x}=\overrightarrow{0}に代入すると

\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}r&0&0&0&0\\r&0&0&0&0\\0&\frac{3}{4}r&\frac{1}{4}r&0&0\\0&0&\frac{2}{4}r&\frac{2}{4}r&0\\0&0&0&\frac{1}{4}r&\frac{3}{4}r\end{matrix}\right)\left(\begin{array}{c}x_{10}\\x_{11}\\x_{12}\\x_{13}\\x_{14}\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\\0\\0\\\end{array}\right)
\Rightarrow\begin{cases}rx_{10}=0\\\frac{3}{4}rx_{11}+\frac{1}{4}rx_{12}=0\\\frac{2}{4}rx_{12}+\frac{2}{4}rx_{13}=0\\\frac{1}{4}rx_{13}+\frac{3}{4}rx_{14}=0\\\end{cases}

x_{11}=tと置くと
x_{12}=-3t,\, x_{13}=3t,\, x_{14}=-t

よって
\overrightarrow{x_1}=\left(\begin{array}{c}x_{10}\\x_{11}\\x_{12}\\x_{13}\\x_{14}\\\end{array}\right)=t\left(\begin{array}{c}0\\1\\-3\\3\\-1\end{array}\right)

\lambda_2に対する\overrightarrow{x_2}を求める。

\lambda_2=1-\frac{2}{4}r\left(A-\lambda E\right)\overrightarrow{x}=\overrightarrow{0}に代入すると

 \left(\begin{matrix}-\frac{2}{4}r&0&0&0&0\\r&-\frac{1}{4}r&0&0&0\\0&\frac{3}{4}r&0&0&0\\0&0&\frac{2}{4}r&\frac{1}{4}r&0\\0&0&0&\frac{1}{4}r&\frac{2}{4}r\end{matrix}\right)\left(\begin{array}{c}x_{20}\\x_{21}\\x_{22}\\x_{23}\\x_{24}\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\\0\\0\\\end{array}\right)
\Rightarrow\begin{cases}rx_{20}=x_{21}=0\\\frac{2}{4}rx_{22}+\frac{1}{4}rx_{23}=0\\\frac{1}{4}rx_{23}+\frac{2}{4}rx_{24}=0\\\end{cases}

x_{22}=tと置くと
x_{23}=-2t,\, x_{24}=t

よって
\overrightarrow{x_2}=\left(\begin{array}{c}x_{20}\\x_{21}\\x_{22}\\x_{23}\\x_{24}\\\end{array}\right)=t\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\\-2\\1\end{array}\right)

\lambda_3に対する\overrightarrow{x_3}を求める。

\lambda_3=1-\frac{1}{4}r\left(A-\lambda E\right)\overrightarrow{x}=\overrightarrow{0}に代入すると
\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}r&0&0&0&0\\r&-\frac{2}{4}r&0&0&0\\0&\frac{3}{4}r&-\frac{1}{4}r&0&0\\0&0&\frac{2}{4}r&0&0\\0&0&0&\frac{1}{4}r&\frac{1}{4}r\end{matrix}\right)\left(\begin{array}{c}x_{30}\\x_{31}\\x_{32}\\x_{33}\\x_{34}\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\\0\\0\\\end{array}\right)
\Rightarrow\begin{cases}rx_{30}=x_{31}=x_{32}=0\\\frac{1}{4}rx_{33}+\frac{1}{4}rx_{34}=0\\\end{cases}

x_{33}=tと置くと
x_{34}=-t

よって
\overrightarrow{x_3}=t\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\\1\\-1\end{array}\right)

\lambda_4に対する\overrightarrow{x_4}を求める。

\lambda_4=1\left(A-\lambda E\right)\overrightarrow{x}=\overrightarrow{0}に代入すると
\left(\begin{matrix}-r&0&0&0&0\\r&-\frac{3}{4}r&0&0&0\\0&\frac{3}{4}r&-\frac{2}{4}r&0&0\\0&0&\frac{2}{4}r&-\frac{1}{4}r&0\\0&0&0&\frac{1}{4}r&0\end{matrix}\right)\left(\begin{array}{c}x_{40}\\x_{41}\\x_{42}\\x_{43}\\x_{44}\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\\0\\0\\\end{array}\right)
\Rightarrow rx_{40}=x_{41}=x_{42}=x_{43}=0

x_{44}は任意の数でよいのでtとおくと、

\overrightarrow{x_4}=t\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\\0\\1\end{array}\right)

固有ベクトルを並べてPとする。

行列Aを対角化するための行列P固有ベクトルx_0 ~ x_4を順に並べたものとなる。

よって
P=\left(\begin{matrix}x_{00}&x_{10}&x_{20}&x_{30}&x_{40}\\x_{01}&x_{11}&x_{21}&x_{31}&x_{41}\\x_{02}&x_{12}&x_{22}&x_{32}&x_{42}\\x_{03}&x_{13}&x_{23}&x_{33}&x_{34}\\x_{04}&x_{14}&x_{24}&x_{34}&x_{44}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&0&0&0&0\\-4&1&0&0&0\\6&-3&1&0&0\\-4&3&-2&1&0\\1&-1&1&-1&1\end{matrix}\right)

P逆行列P^{-1}を求める。

Pの右に単位行列Eを並べた行列に対して、以下の操作を繰り返して単位行列Eの右にある行列が並んだ状態にする。

  • ある行をスカラー倍する
  • ある行をスカラー倍して別の行に加える
  • ある行と別の行を入れ替える

そうした結果、単位行列Eの右に並ぶ行列はP逆行列P^{-1}となる。

\left(\begin{matrix}1&0&0&0&0&|&1&0&0&0&0\\-4&1&0&0&0&|&0&1&0&0&0\\6&-3&1&0&0&|&0&0&1&0&0\\-4&3&-2&1&0&|&0&0&0&1&0\\1&-1&1&-1&1&|&0&0&0&0&1\end{matrix}\right)
第1行を、4倍して第2行に、-6倍して第3行に、4倍して第4行に、-1倍して第5行に加える
\left(\begin{matrix}1&0&0&0&0&|&1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&|&4&1&0&0&0\\0&-3&1&0&0&|&-6&0&1&0&0\\0&3&-2&1&0&|&4&0&0&1&0\\0&-1&1&-1&1&|&-1&0&0&0&1\end{matrix}\right)
第2行を、3倍して第3行に、-3倍して第4行に、1倍して第5行に加える
\left(\begin{matrix}1&0&0&0&0&|&1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&|&4&1&0&0&0\\0&0&1&0&0&|&6&3&1&0&0\\0&0&-2&1&0&|&-8&-3&0&1&0\\0&0&1&-1&1&|&3&1&0&0&1\end{matrix}\right)
第3行を、2倍して第4行に、-1倍して第5行に加える
\left(\begin{matrix}1&0&0&0&0&|&1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&|&4&1&0&0&0\\0&0&1&0&0&|&6&3&1&0&0\\0&0&0&1&0&|&4&3&2&1&0\\0&0&0&-1&1&|&-3&-2&-1&0&1\end{matrix}\right)
第4行を、1倍して第5行に加える
\left(\begin{matrix}1&0&0&0&0&|&1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&|&4&1&0&0&0\\0&0&1&0&0&|&6&3&1&0&0\\0&0&0&1&0&|&4&3&2&1&0\\0&0&0&0&1&|&1&1&1&1&1\end{matrix}\right)

よってP逆行列P^{-1}
P^{-1}=\left(\begin{matrix}1&0&0&0&0\\4&1&0&0&0\\6&3&1&0&0\\4&3&2&1&0\\1&1&1&1&1\end{matrix}\right)

……パスカルの三角形だあ

また、Aを対角化した対角行列D=P^{-1}AP
固有値\lambda_0~\lambda_4を対角線上に並べたものとなるので、

 D=P^{-1}AP=\left(\begin{matrix}\lambda_0&0&0&0&0\\0&\lambda_1&0&0&0\\0&0&\lambda_2&0&0\\0&0&0&\lambda_3&0\\0&0&0&0&\lambda_4\end{matrix}\right)
=\left(\begin{matrix}1-r&0&0&0&0\\0&1-\frac{3}{4}r&0&0&0\\0&0&1-\frac{2}{4}r&0&0\\0&0&0&1-\frac{1}{4}r&0\\0&0&0&0&1\end{matrix}\right)
となる。

\overrightarrow{p_{n}}\overrightarrow{p_{0}}を用いて表す

0\lt n\lt 10のとき\overrightarrow{p_n}=A\overrightarrow{p_{n-1}}であるから
\overrightarrow{p_n}=A^{n}\overrightarrow{p_{0}}となる。
これにA=PDP^{-1}を代入すると、
\overrightarrow{p_n}=A^{n}\overrightarrow{p_{0}}
=\left(PDP^{-1}\right)^{n}\\=PD^{n}P^{-1}\\=\left(\begin{matrix}1&0&0&0&0\\-4&1&0&0&0\\6&-3&1&0&0\\-4&3&-2&1&0\\1&-1&1&-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\lambda_0&0&0&0&0\\0&\lambda_1&0&0&0\\0&0&\lambda_2&0&0\\0&0&0&\lambda_3&0\\0&0&0&0&\lambda_4\end{matrix}\right)^{n}\left(\begin{matrix}1&0&0&0&0\\4&1&0&0&0\\6&3&1&0&0\\4&3&2&1&0\\1&1&1&1&1\end{matrix}\right)\overrightarrow{p_{0}}
=\left(\begin{matrix}1&0&0&0&0\\-4&1&0&0&0\\6&-3&1&0&0\\-4&3&-2&1&0\\1&-1&1&-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\lambda_0^{n}&0&0&0&0\\0&\lambda_1^{n}&0&0&0\\0&0&\lambda_2^{n}&0&0\\0&0&0&\lambda_3^{n}&0\\0&0&0&0&\lambda_4^{n}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1&0&0&0&0\\4&1&0&0&0\\6&3&1&0&0\\4&3&2&1&0\\1&1&1&1&1\end{matrix}\right)\overrightarrow{p_{0}}
=\left(\begin{matrix}\lambda_0^{n}&0&0&0&0\\-4\lambda_0^{n}&\lambda_1^{n}&0&0&0\\6\lambda_0^{n}&-3\lambda_1^{n}&\lambda_2^{n}&0&0\\-4\lambda_0^{n}&3\lambda_1^{n}&-2\lambda_2^{n}&\lambda_3^{n}&0\\\lambda_0^{n}&-\lambda_1^{n}&\lambda_2^{n}&-\lambda_3^{n}&\lambda_4^{n}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1&0&0&0&0\\4&1&0&0&0\\6&3&1&0&0\\4&3&2&1&0\\1&1&1&1&1\end{matrix}\right)\overrightarrow{p_{0}}
=\left(\begin{matrix}\lambda_0^{n}&0&0&0&0\\-4\lambda_0^{n}+4\lambda_1^{n}&\lambda_1^{n}&0&0&0\\6\lambda_0^{n}-12\lambda_1^{n}+6\lambda_2^{n}&-3\lambda_1^{n}+3\lambda_2^{n}&\lambda_2^{n}&0&0\\-4\lambda_0^{n}+12\lambda_1^{n}-12\lambda_2^{n}+4\lambda_3^{n}&3\lambda_1^{n}-6\lambda_2^{n}+3\lambda_3^{n}&-2\lambda_2^{n}+2\lambda_3^{n}&\lambda_3^{n}&0\\\lambda_0^{n}-4\lambda_1^{n}+6\lambda_2^{n}-4\lambda_3^{n}+\lambda_4^{n}&-\lambda_1^{n}+3\lambda_2^{n}-3\lambda_3^{n}+\lambda_4^{n}&\lambda_2^{n}-2\lambda_3^{n}+\lambda_4^{n}&-\lambda_3^{n}+\lambda_4^{n}&\lambda_4^{n}\end{matrix}\right)\overrightarrow{p_{0}}

10連スカウトの場合

10連スカウトの場合は上記にA'をかけるので、

\overrightarrow{p_10}=A'A^{9}\overrightarrow{p_{0}}
==\left(\begin{matrix}s&0&0&0&0\\1-s&\frac{1}{4}\left(1+3s\right)&0&0&0\\0&\frac{1}{4}\left(3-3s\right)&\frac{1}{4}\left(2+2s\right)&0&0\\0&0&\frac{1}{4}\left(2-2s\right)&\frac{1}{4}\left(3+s\right)&0\\0&0&0&\frac{1}{4}\left(1-s\right)&1\end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix}\lambda_0^{9}&0&0&0&0\\-4\lambda_0^{9}+4\lambda_1^{9}&\lambda_1^{9}&0&0&0\\6\lambda_0^{9}-12\lambda_1^{9}+6\lambda_2^{9}&-3\lambda_1^{9}+3\lambda_2^{9}&\lambda_2^{9}&0&0\\-4\lambda_0^{9}+12\lambda_1^{9}-12\lambda_2^{9}+4\lambda_3^{9}&3\lambda_1^{9}-6\lambda_2^{9}+3\lambda_3^{9}&-2\lambda_2^{9}+2\lambda_3^{9}&\lambda_3^{9}&0\\\lambda_0^{9}-4\lambda_1^{9}+6\lambda_2^{9}-4\lambda_3^{9}+\lambda_4^{9}&-\lambda_1^{9}+3\lambda_2^{9}-3\lambda_3^{9}+\lambda_4^{9}&\lambda_2^{9}-2\lambda_3^{9}+\lambda_4^{9}&-\lambda_3^{9}+\lambda_4^{9}&\lambda_4^{9}\end{matrix}\right)\overrightarrow{p_{0}}

メルストのあんスタコラボでコラボユニットコンプする期待値を計算してみた※まだ途中

8年半ぶりの更新……
書きたい記事がTwitterに投稿するには複雑すぎたから仕方ないね。

本題

メルストとあんスタ のコラボ第3弾かぁ……
前回のコラボの時、コラボスカウトで「☆4をn人引いたときにコラボユニットをコンプしている確率」を計算したら、大学レベルの確率・漸化式・行列の知識をフル動員することになって面白かったんだよな。

今回の新コラボユニットはスキル進化できる☆5として実装される予感がするからアレだけど、「復刻コラボスカウトでコラボユニットコンプするまでどれだけ引けばいいか」を計算してみたいと思う。

前提

復刻コラボスカウトでは、☆4出現時、コラボユニット4人の誰かを必ず獲得、10連スカウト時、☆4以上1体確定となっている。
ここで「☆4以上1体確定」とは、9体は単発と同じ☆4出現率で、残りの1体は「1-[☆5の確率]」で☆4が出現するとする。

変数定義

 p_{mn} :10連で n 人引いたとき、コラボユニットを m 人所持している確率
 q_{mn} :10連を n 回引いたとき、コラボユニットを m 人所持している確率
 r :単発で☆4を引ける確率(0.0558)
 s :単発で☆5を引ける確率(0.03)

 p_{mn} を漸化式で表す

コラボユニットをまだ持っていない状態から始めるとする。

まず1人目。

復刻コラボ10連の1人目で☆4を引く確率はr
これは必ずまだ持っていないコラボユニットである。
よって

p_{11}=r

また、1人目で☆4を引かなかった確率p_{01}

p_{01}=1-r

2人目。

復刻コラボ10連の2人目時点を考える。

2人とも☆4でなければ所持人数は0人。
「1人目が☆4で、2人目が☆4以外または既存☆4」または「1人目が☆4以外で、2人目が☆4」なら所持人数は1人。
1人目が☆4で、2人目が新規☆4なら所持人数は2人。


それぞれ計算すると

 \begin{cases}p_{02}=\left(1-r\right)p_{01}\\p_{12}=rp_{01}+\left(1-\frac{3}{4}r\right)p_{11}\\p_{22}=\frac{3}{4}rp_{11}\end{cases}

3人目。

一般にn人目で所持人数m人になる確率p_{mn}n-1人目でm人の確率×n人目で新規☆4を引かない確率とn-1人目でm-1人の確率×n人目で新規☆4を引く確率の和で計算できる。3人目の場合は以下

\begin{cases}p_{03}=\left(1-r\right)p_{02}\\p_{13}=rp_{02}+\left(1-\frac{3}{4}r\right)p_{12}\\p_{23}=\frac{3}{4}rp_{12}+\left(1-\frac{2}{4}r\right)p_{22}\\p_{33}=\frac{2}{4}rp_{22}\end{cases}

4人目。

同様にして復刻コラボ10連の4人目時点では

\begin{cases}p_{04}=\left(1-r\right)p_{03}\\p_{14}=rp_{03}+\left(1-\frac{3}{4}r\right)p_{13}\\p_{24}=\frac{3}{4}rp_{13}+\left(1-\frac{2}{4}r\right)p_{23}\\p_{34}=\frac{2}{4}rp_{23}+\left(1-\frac{1}{4}r\right)p_{33}\\p_{44}=\frac{1}{4}rp_{33}\end{cases}

5人目。

同様にして復刻コラボ10連の5人目時点では

 \begin{cases}p_{05}=\left(1-r\right)p_{04}\\p_{15}=rp_{04}+\left(1-\frac{3}{4}r\right)p_{13}\\p_{25}=\frac{3}{4}rp_{14}+\left(1-\frac{2}{4}r\right)p_{24}\\p_{35}=\frac{2}{4}rp_{24}+\left(1-\frac{1}{4}r\right)p_{34}\\p_{45}=\frac{1}{4}rp_{34}+p_{44}\end{cases}


これは列ベクトルp_nに行列Aを左からかけた形で表せる。

\left(\begin{array}{c}p_{05}\\p_{15}\\p_{25}\\p_{35}\\p_{45}\\\end{array}\right)=\left(\begin{matrix}1-r&0&0&0&0\\r&1-\frac{3}{4}r&0&0&0\\0&\frac{3}{4}r&1-\frac{2}{4}r&0&0\\0&0&\frac{2}{4}r&1-\frac{1}{4}r&0\\0&0&0&\frac{1}{4}r&1\end{matrix}\right)\left(\begin{array}{c}p_{04}\\p_{14}\\p_{24}\\p_{34}\\p_{44}\\\end{array}\right)

ここで

\overrightarrow{p_{n}}=\left(\begin{array}{c}p_{n0}\\p_{n1}\\p_{n2}\\p_{n3}\\p_{n4}\\\end{array}\right),A=\left(\begin{matrix}1-r&0&0&0&0\\r&1-\frac{3}{4}r&0&0&0\\0&\frac{3}{4}r&1-\frac{2}{4}r&0&0\\0&0&\frac{2}{4}r&1-\frac{1}{4}r&0\\0&0&0&\frac{1}{4}r&1\end{matrix}\right)

とすると

 \overrightarrow{p_5}=A\overrightarrow{p_4}

一般化

初期値p_0=\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\\0\\0\end{array}\right) とすると 0\lt n\lt 10のとき
\overrightarrow{p_n}=A\overrightarrow{p_{n-1}}が成り立つ。

10人目の場合

 n=10のときは単発で☆5を引ける確率sを使ったAではない行列をかけることになる。
これをA'とする。

\left(\begin{array}{c}p_{0,10}\\p_{1,10}\\p_{2,10}\\p_{3,10}\\p_{4,10}\\\end{array}\right)=\left(\begin{matrix}s&0&0&0&0\\1-s&\frac{1}{4}\left(1+3s\right)&0&0&0\\0&\frac{1}{4}\left(3-3s\right)&\frac{1}{4}\left(2+2s\right)&0&0\\0&0&\frac{1}{4}\left(2-2s\right)&\frac{1}{4}\left(3+s\right)&0\\0&0&0&\frac{1}{4}\left(1-s\right)&1\end{matrix}\right)\left(\begin{array}{c}p_{0,9}\\p_{1,9}\\p_{2,9}\\p_{3,9}\\p_{4,9}\\\end{array}\right)

このとき

A'=\left(\begin{matrix}s&0&0&0&0\\1-s&\frac{1}{4}\left(1+3s\right)&0&0&0\\0&\frac{1}{4}\left(3-3s\right)&\frac{1}{4}\left(2+2s\right)&0&0\\0&0&\frac{1}{4}\left(2-2s\right)&\frac{1}{4}\left(3+s\right)&0\\0&0&0&\frac{1}{4}\left(1-s\right)&1\end{matrix}\right)

10連を引いたときにコラボユニットを所持できている確率は
初期値 p_0に対して、\overrightarrow{p_{10}}=A'A^{9}\overrightarrow{p_0}となる。

メモ

1番道路:アサメの小道
2番道路:アバンセ通り
3番道路:ウベール通り
4番道路:パルテール街道
5番道路:ベルサン通り
6番道路:パレの並木道
7番道路:リビエールライン
8番道路:ミュライユ海岸
9番道路:トゲトゲ山道
10番道路:メンヒルロード
11番道路:ミロワール通り
12番道路:フラージュ通り
13番道路:ミアレの荒野
14番道路:クノエの林道
15番道路:ブラン通り
16番道路:トリスト通り
17番道路:マンムーロード
18番道路:エトロワ・バレ通り
19番道路:ラルジュ・バレ通り
20番道路:迷いの森
21番道路:デルニエ通り

ep.39 〜破壊可能オブジェクト

訪れた場所

  • 5番道路
  • 7番道路
  • ミアレシティ
  • フウジョタウン
  • ショウヨウシティ
  • など

手に入れたポケモン

気づいたこと他

  • きのみの入手法をネットで調査。戦闘フィールドに「実のなった木」が現れた時に「たつまき」などの全体攻撃を行うことで入手できるらしい。
  • ということで該当の技を覚えるポケモンを捕獲・育成。
  • そのまえに三ツ星レストランで大爆発するメンツを用意。
    • ターン数合わせても瀕死になるから評価?は上がらないっぽい。

ep.38 〜ずばっとまるっと

訪れた場所

  • 22番道路
  • 4番道路
  • 5番道路
  • 7番道路
  • 8番道路
  • 10番道路
  • など

手に入れたポケモン

気づいたこと他

ep.37 ~パワー系コンプ

訪れた場所

手に入れたポケモン

気づいたこと他

  • バトルハウスシングルをもう一周して、貯まったBP でパワー系6種を揃えた。
  • レベル上げ用にミアレのレストランで有用なポケモンを考察。
  • トリプルバトル向けに大爆発守る封印重力水浸し置き土産……こんなもんか。
  • ベロベルトシャンデラと……あとはドーブルでいいか。
    • ところで、置き土産ってどうやってスケッチするんだ?

ep.36 〜ポケモンリーグ再挑戦

訪れた場所

気づいたこと他

  • 四天王強化とかされてないか調査のためポケモンリーグに再挑戦。
  • ついでに誰が一番経験値をくれるのか、前のギーマボムみたいな稼ぎ方ができるか調査。
    • Lv1ミノムッチを4匹瀕死にして用意し、各四天王戦の前に1匹ずつ回復させて、もらえる経験値を比べる
  • 調査結果1:四天王は特に強化されていない。手持ちの数も各4匹
  • 調査結果2:もらえる経験値が多い順はガンピ>パキラ>ドラセナ>ズミ。
  • 結論:戦闘前後のエフェクトや会話が多いことも考えるとポケモンリーグで経験値を稼ぐのは非効率っぽい