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参照用 記事

ファイバーとシグマ構成

この記事は、他の記事で述べていなかった(抜け落ちていた)事項を説明します。他の記事(過去記事も含む)から参照することを目的にしています。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} } \newcommand{\cat}[1]{ \mathcal{#1} } \newcommand{\In}{\text{ in }…

バンドル-ファミリー対応 再考

ファイバーの計算(「ファイバーの計算 基本概念」参照)において、バンドル-ファミリー対応は基本となる事実です。これは、スライス圏〈オーバー圏 | バンドルの圏〉とファミリーの圏が圏同値となることです。バンドル-ファミリー対応を短く書けば $`\mathc…

ファイバーの計算の動機としてのプルバック公式

ファイバーの計算に関する一連の記事(「ファイバーの計算 基本概念」参照)を書いているのですが、この記事は他の記事を参照しなくても(なるべく)独立に読めるようにします。ファイバーの計算は、関数のファイバー〈逆像〉に関する具体的な計算と、それを…

レベル付き林の圏

「木と林(有向グラフ)」より: 頂点〈ノード〉の高さと林/ツリーの高さは、関連してますが別な概念なので混同しないようにしましょう。 別な概念は別な名前を付けたほうがいいですね。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} }\newcommand{\cat}[1]{\mathca…

木と林(有向グラフ) その2

「木と林(有向グラフ)」で、有向グラフの特別なものである木〈ツリー〉と林について述べました。(主に“ファイバーの計算”への)応用のためには、まだ必要なことが残っているので、そのまま続きと補足を書きます。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} } \…

木と林(有向グラフ)

“ファイバーの計算”(「ファイバーの計算 基本概念」参照)に関する一連の記事のひとつとして、木と林の話を書き始めたのですが、独立した話題として扱えるので、シリーズ記事からは外れた記事にします。木と林は有向グラフの種類のことで、現実世界の植物の…

ファイバーの計算 幾つかの圏同値

“ファイバーの計算”に必要な幾つかの圏同値を示します。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} } \newcommand{\hyp}{\text{-} } \newcommand{\In}{\text{ in }} \newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\F}[1]{ {{#1}^{-1}} } % fiber \newcommand{…

ファイバーの計算 全体像と色々な構成法

「ファイバーの計算 基本概念」で、バンドル-ファミリー対応を実現するファイバー関手などの基本概念を紹介しました。もちろん、“ファイバーの計算”には続きがあります。基本概念に引き続く内容に入る前に、“ファイバーの計算”の全体像を概観しておきます。…

ファイバーの計算 基本概念

バタニン/マークル〈Michael Batanin, Martin Markl〉のオペラディック圏は、オペラッドを定義するための道具ですが、“ファイバーの計算”を抽象化したものだともみなせます。この記事では、抽象化する前の具象的な“ファイバーの計算”、つまり集合圏の部分圏…

スライス圏の大域的な定義: スラッシュ記号の解釈

圏 $`\mathcal{C}`$ とその対象 $`c`$ に対して、スライス圏〈オーバー圏〉$`\mathcal{C}/c`$ を定義できます。このとき使われるスラッシュは、二項演算子記号のように見えます。そうだとすると、スラッシュの実体(セマンティクス)である演算とはどのよう…

命題と判断

久々に論理の話をします。論理とはいっても、形式化された論理〈formal logic〉の話ではなくて、“ちゃんと考えるための技法”といった意味の論理です。「命題と判断は区別しましょう」が僕がこの記事で言いたいことです。$`\newcommand{\Holds}{ \mathrel{|\!…

変換手n-圏のブラケット記法

n-圏達を対象とする(n + 1)-圏を $`n{\bf Cat}`$ と書きます。特に、$`{\bf Cat} = 1{\bf Cat}`$ です。$`{\bf Cat}`$ は、1-圏達を対象とする(1 + 1)-圏です。また、$`{\bf Set} = 0{\bf Cat}`$ です。$`{\bf Set}`$ は、0-圏達を対象とする(0 + 1)-圏です…

双遷移系のテンソル積

「双遷移系達の3次元の圏」で述べた3次元の圏類似代数系のプロ射(プロ方向の1-射)は双遷移系です。プロ射のプロ方向への結合は、双遷移系のテンソル積で与えられます。この記事で、双遷移系のテンソル積を定義します。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1}…

双遷移系達の3次元の圏

「丹原プロ関手の二重圏、いやっ三重圏?」において、とある3次元の圏が存在しそうだ、と述べました。しかし、その3次元の圏の構成はかなり手間がかかる作業です。設定を単純化して、手間を減らしましょう。「丹原プロ関手の二重圏、いやっ三重圏?」で「モ…

丹原プロ関手の二重圏、いやっ三重圏?

「ヒューズ・アローと丹原プロ関手」では早とちりをやらかしてしまいました。丹原プロ関手を2-射〈二重射〉とする二重圏の(特別な形の)モノイドがヒューズ・アローになるかと思ったんですが、それは違うようです(追記の節「追記: 誤認と間違い」参照)。…