phylloさんのダイアリー_study

2次元離散ボロノイ図

Imple

画素の集合などを扱う場合，離散として扱える(簡単)

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ボロノイ図

Theme

ボロノイ図とは，「ある範囲内の母点の集合で，その他の点がどの母点に近いかによって領域分けされた点」をいう．

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線形時変システムの解

Math

自由システム(入力がない場合)

状態方程式: $\dot{x}(t)=A(t)x(t)$
初期値: $x(t_0)=x_0$

解: $x(t)=\Phi(t,t_0)x_0$
ただし， $\Phi(t,t_0)$ は， $\dot{\Phi}(t,t_0)=A(t)\Phi(t,t_0),\Phi(t_0,t_0)=I$ の(唯一)解．

入力があるシステム

状態方程式: $\dot{x}(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)$
初期値: $x(t_0)=x_0$

解: $x(t)=\Phi(t,t_0)x_0+\int_{t_0}^{t}\Phi(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau$

線形時不変システムの解

Math

自由システム(入力がない場合)

状態方程式: $\dot{x}(t)=Ax(t)$
初期値: $x(t_0)=x_0$

解: $x(t)=\Phi(t)x_0$
ただし， $\Phi(t)=e^{A(t-t_0)}$ ．
$e^{A(t-t_0)}=I+A(t-t_0)+\frac{1}{2!}A^2(t-t_0)^2+...+\frac{1}{k!}A^k(t-t_0)^k+...$

入力があるシステム

状態方程式: $\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)$
初期値: $x(t_0)=x_0$

解: $x(t)=\Phi(t-t_0)x_0+\int_{t_0}^{t}\Phi(t-\tau)Bu(\tau)d\tau$
ただし， $\Phi(t)=e^{A(t-t_0)}$ ．

システム状態方程式の解

Theme

システムの動特性を表すベクトル微分方程式が記述でき，それが線形システムだった場合，解析解を得ることができる．

遷移行列 $\Phi(s,t)$
時刻tでの状態x(t)から時刻sでの状態x(s)に遷移させる線形写像． $\Phi(t)=\Phi(t,t_0)$ ．
システム行列 $A$ に対する基本マトリクスとも呼ばれる．
時不変なシステムの場合，遷移行列は $\Phi(t)=e^{A(t-t_0)}$ と表される．この行列指数関数 $e^{A(t-t_0)}$ を求める方法として，

行列指数関数の定義から計算(煩雑になりやすい)
ラプラス変換による方法 $e^{At}=L^{-1}\{ (sI-A)^{-1} \}$
システム行列 $A$ の対角化による方法
ケーリー・ハミルトンの定理による方法

がある．

Eigenライブラリ

Other

今までc++で線形代数やるときは、サイズが大きくなければ自分で作ったやつ、boostのBLAS、書き出してoctaveで計算とか無理矢理感が否めないやり方を多くしてたけど、Eigenというライブラリがあるらしいということを目にして使ってみたので自分用まとめ。

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円形で並進回転運動するロボット

Other

並進速度v、回転速度wで運動するロボット

(x,y,θ)の状態から?tだけ移動した場合の状態(x',y',θ')

導出

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