派遣会社に登録していた時、短期派遣の合間によくデータ入力のお仕事をいただきました。
相手先の会社へ行くこともあれば、派遣会社のPCで黙々とやることも、自宅へ持ち帰り指定期間内に仕上げて提出等々ありました。

いずれにしても、データ1件入力につき○円という仕事なので、1時間に入力できる件数×単価になると思います。
単価設定と1件のデータ量にもよりますが、私は時給1200～1500円くらいにはなってました。

ただし、仕事は不定期（私は短期派遣の合間でしたので問題ありませんでしたが）ですし、同じ仕事を数人で分けた時、入力のスピードによっては時給1000円に届かないという方もいました。
また、派遣会社では登録時に文字キーとテンキーの入力スピードを審査されるので、一定以上のスキルがなければ仕事も貰えない・・・と言った感じでした。

派遣会社からのお仕事でしたが、業務的には請負業務でした。

勤務時間はひたすら数字と文字の入力。
接客も電話応対もファイリングもありません。
席を立つのは入力するデータを取りに行く時とお手洗いのみ。
これぞデータ入力、という感じですね。
今までいくつかデータ入力の仕事をしましたが職場によっては接客、電話応対、ファイリングを頼まれることもありました。
ただそうなるとやはり入力に集中出来ないので非効率ですね。
なので私は仕事を探す時にはかならず「データ入力のみの仕事ですか？」と確認してます。

かなり昔のことになりますがキーパンチャーをやっていました。
専用端末で英数字とカナでした。
ただひたすら黙々とする仕事なのでそれが耐えられるなら大丈夫かと。
ベテランの人たちはイヤホンで音楽聴きながらパンチしてしたよ。
ただ忙しい時は体調が悪くても休めないですね。
休むと他の人にしわ寄せが行くので。
与えられた端末のキーが固いと腱鞘炎になりやすいので、
そういう場合はすぐに申し出た方がいいともいます。
女性だけの職場なのでいくら黙々と作業をする職場であっても、
それなりのイザコザはありますけどね。

データ入力の仕事でしたら、派遣での募集が多いです。

派遣会社に登録する際に１分に何文字打てるかの簡単なスキルチェックがありますので、自分のレベルに適した職場を紹介してもらえます。

私も今、派遣でデータ入力の仕事（官公庁）をしていて、仕事は入力と入力チェック作業がメインです。その他、雑用もあり。

入力センターなどでは同じ仕事をしている派遣の人数がかなり多いので、休みなど取りやすいのも良いと思います。

色んな派遣の仕事を検索するサイトがありますので、参考までに見てみてください。

３ヶ月くらいの短期でデータ入力だけやる仕事をやったことがあります。１５名くらいだったでしょうか。私も黙々とやる仕事が好きなのでいいかなと思ったんですが、あまりに単調で飽きるし肩こりとか相当すごかったです。短期でちょうどいいな・・と思いました。

私は今、おじさんばかりの職場で出張の手配したり、伝票切ったりと庶務の仕事をしていますが（長期）、楽ですよ～　ある程度自分のペースで仕事できるし、周りがおじさんだから人付き合いがどうとかも無いし、電話も社内からの内線がほとんどで数も少ないし。
普通の事務だと、電話応答が無い仕事って言うのはちょっと難しいですね。。。

データ入力には、トピ主さんが言われたような仕分け伝票の入力のような仕事から、書類を作成するところまで含めたもの、紙ベースのデータをデータベースに置き換えるようなベタ打ち等いろいろあります。仕事の内容によっては、すごく時間にゆるゆるの場合もハードな場合もあります。
トピ主さんの文章から察するに、伝票入力（大抵が営業事務に関係し、時間制限ありありの超ハードな仕事が多いです）系がいいのではないでしょうか？

ちなみに、営業事務にかかる伝票入力の場合電話有りが多いです（ない場合もあります）。
ただ黙々とデータだけ打ってればいい仕事は低時給が多いです。
私もデータ入力が好きなのですが、伝票入力（出荷業務）で時間のハードさ、入力の複雑さ、正確性の厳密さでおかしくなりそうになり今はのんびりを求めるに至りました。

時間に追われる、という所だけピックアップすると、短期のお仕事が向いてるのではないでしょうか？短期は納期が迫った仕事が多いので、時間がハードな事が多いですよ。
（派遣さん向けな回答をしてしまいましたが、パートさんだったらあまり参考にならないのかな？そうでしたらすみません！）

１０年以上前の２０代半ばに週に３日データエントリーの仕事をしていました。当時は時給１７００円位で、一般事務より高かったです。
ずっと書類で細かい数字を追いながらエントリーしているので、目の疲れと肩こりがひどかったです。もう２度とやりたくありません。ですが、黙々とやれますので、体力的に問題なければお勧めです。（法律上は途中で適度に休憩をとれる筈なのですが、実際はなかなか休めませんでした。）

「人付き合いが好きではない電話対応が苦手」な方に合う事務、思いつきません。派遣会社等に登録に行って、ちょっと探ってみてはどうでしょう。

いいお仕事が見つかるといいですね。

私は今の職場で、データ入力を委託しています。
定形のフォームに数字やアルファベットを書いて提出しています。
15:30までに提出すると、その日のうちに入力してくれるので、
日によっては、大変だろうと思います。
電話の対応は管理者の方がやっているので、実際に入力する人は、
入力作業と確認作業を黙々とやっているので、静かでキーボードを叩く
音しかしないような職場のようです。
あと、友人がバイトしてたところは、月間の入力文字数とか、時間当たりの入力文字数とかが発表されていたようです。

データの中にはミスされると困るものがあるのですが、先日は、
酷いミスを続けてされたので、上長を通して苦情を言いました。

トピ主さんの希望の、静かで時間に追われて黙々と作業するような仕事だと思いますが、
注意力や集中力がずっと持続するタイプの人でないと難しいと思います。

初めての派遣登録。
聞いたこともない派遣会社での登録でした。
ビックリしたのは
家でインターネットしているくらいで普通に打てるくらいです、
と正直に言ったにもかかわらず採用。
しかも実際に打ってるところを見ずに現地GO！
ビックリしました（笑）。

派遣先は市役所関係でした（汗）。
たぶんそこで働いてる方よりも遅いかもしれないのに
いたれりつくせりの対応でこれでいいのか？？とおもいながら
やってました。。。
お菓子食べながら・・お茶の飲みながら。。。
同じ派遣の子たち4人とやっていたのですが、
私がやはり一番遅かったですが、楽しかったし、
ただただ黙々とできるしあっというまに時間が経っていましたね。
ただ、時給が900円でした！

よそは厳しいところもあるだろうけど
私のようなケースもあるので。。。。