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チラ裏
「チラ裏」はメモ。誤字・誤記・脱線が多いです!
2024-03-27 五・六・十角形の恒等式 現代とは違う感覚
#数論 #正五角形 #矢
今から2000年以上前の古代ギリシャでは、ものすごく幾何学の研究が進んでいた。ユークリッドの『幾何学原論』第13巻(最終巻)の命題10は、次のような趣旨の、優雅で面白い定理。
「同一の円に内接する正五角形・正六角形・正十角形の一辺の長さをそれぞれ x, y, z とすると、 x2 = y2 + z2 が成り立つ」
全ては掛け値なしに「小学生の算数の範囲」。何しろ三角関数どころか、平方根の記号も、「1, 2, 3」のようなアラビア数字も知らない古代人が記したのだ…。
ユークリッド自身の証明は、一見謎めいている――現代の感覚では「確かにその補助線を引くとそうなるけど、なぜそんな所に補助線を引くの?」といったところか。しかし「学問の進歩した現代なら、2000年前よりうまくできるはず」というおごりを捨て、謙虚にユークリッドの証明を検討しているうちに、「この古代の証明こそが最も軽妙」と思えてきた。
そこでこのメモでは、ユークリッド自身による証明を、簡単化して紹介したい。
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2024-03-25 あしたの嬢さん 立て、立つんだ、クララ!
#漫画・アニメ #ネタ
「千歳のママの「療養先」なぜスイス?」の続き…?
ED1†
ゼーゼマン家の 嬢さんが
きょうは へき地の山小屋で
あしたを目指して 立ち上がる
「立て 立て、立て!」
「立つんだ、クララ!」
バリアフリーは アルムにゃないぜ
立たなきゃ トイレに行けないよ
ED2
ゆけ 斜面を おいらペーター
夕日がばら色 スイスの山は
みんなはこの俺を ヤギの大将という
山を駆けて独り ヒュー(口笛)!
文無し腹ペコの 名もないヤギ飼いは
干し肉をかみ切った ヤァー!
ゆけ 荒野を ヤギの大将
朝日が昇るよ アルムの峰に
「アルプスの少女~」を見てて、このおじいさん途中で死んじゃうんだろうか?と微妙に心配だった。
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2024-03-24 「正五角形の矢」の研究(続き)
#数論 #正五角形 #矢
「矢」と円の半径の関係。二重根号外し(基本形)の四つの方法。
アルキメデスは正96角形を使い、円周率が 3 + 10/71 (= 3.140…) よりわずかに大きいことを証明した。同じ正96角形を使って、この下界を 3 + 11/78 (= 3.141…) に改善できる。
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2024-03-23 「正五角形の矢」とは…
#数論 #正五角形 #矢
正五角形の「矢」というのは、外接円と辺の間にできる弓形(図の黄色い部分)の高さ(赤い矢印)――辺の中点と弓形の弧の中点の距離。
それが何の役に立つのか? 大人は言うかもしれないけど、眺めてきれいな図には違いない。
正五角形の五つの辺は対称的なので、五つの弓形は合同で、5カ所のどこで測っても「矢」――つまり「弓形の高さ」――は同じ。
「矢」は、外接円の半径(水色・実線)と、内接円の半径(黄緑・点線)の差に等しい。なぜなら…
内接円の半径 + 矢 = 点線の長さ + 赤い矢印の長さ = 外接円の半径
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2024-03-22 「正五角形の矢」の研究 小学生の算数から
#数論 #正五角形 #矢
のび太くんは、平面上のでたらめな2点を A, B として、AB を直径とする円を描きました。そして、その円周上から勝手に選んだ点を C として、三角形 ABC を作りました。
不思議なことに、何度やっても、どの向きにどんな形の三角形を描いても、正確に作図すると ∠C はちょうど 90° になるのです…。
∠A, ∠B の大きさはいろいろに変えられるのに、なぜ ∠C の大きさが固定されてしまうのでしょうか?
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2024-03-20 正五角形の作図 二つの証明
#数論 #1 の原始根 #4次方程式 #正五角形
正五角形の作図自体は簡単。でも「なぜその方法で正五角形になるの?」という理由は、必ずしも簡単ではない。
たった3行の軽妙な証明を紹介したい。教科書などでは軽んじられ、無視されている csc, cot だが、うまく使うと威力はでかい!
同時収録――三角関数を一切使わない「平易」な別証明。三角関数なしだと「平易」どころか、むしろ面倒だけど、使えるツールを制限した「縛りプレイ」。
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2024-03-19 Girard (Newton) の恒等式 解の3乗和を係数で表現
#数論 #1 の原始根
2次方程式 x2 + U1x + U2 = 0 の解が x = a, b のとき、 U1 = −(a + b), U2 = ab であること、3次方程式 x3 + V1x2 + V2x + V3 = 0 の解が x = a, b, c のとき、 V1 = −(a + b + c), V2 = ab + bc + ca, V3 = −(abc) であることは、よく知られている。どちらも解の和は、係数 −○1 に等しく、解の平方和は、係数を使うと次のように表現される。
a2 + b2 = (a + b)2 − 2ab = (U1)2 − 2U2
a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 − 2(ab + bc + ca) = (V1)2 − 2V2
どちらも ○1 の 2 乗から ○2 の 2 倍を引いたもの。個々の解が不明でも、解の和や平方和が分かるのが便利。では解の立方和は、どう表現されるか?
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2024-03-17 二重根号除去の基本形 アルゴリズム的考察
#数論 #1 の原始根 #4次方程式 #正五角形
√(5 + 2√5) の二重根号は簡単にならない。 √(6 + 2√5) の二重根号は簡単に除去できる。その違いは…
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2024-03-14 cot (θ/2) = csc θ + cot θ の可視化 正五角形の高さ
#数論 #1 の原始根 #4次方程式 #正五角形
正五角形の「高さ」というものを定義するとしたら、それは、一つの辺を「底辺」として、そこと反対側の頂点との間の距離だろう。例えば、正五角形 ABCDE の頂点 C と、反対側の辺 AE を結ぶ垂線の長さ。「底辺」つまり AE の、中点を P とすると、線分 CP の長さに当たる。
この作図で面白いのは cot の半角公式…
cot θ/2 = csc θ + cot θ
…の具体例(θ = 36°)が、正五角形の高さとして、生き生きと目で見えること。「対辺 1 の直角三角形の隣辺は cot、斜辺は csc」という観点の効用だろう。「csc は sin の逆数で cot は…」と sin, cos を基準に考えたら面倒な事柄が、ちょっと見方を変えるだけで鮮明に。
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2024-03-12 正五角形の内接円・外接円 cot と csc
#数論 #1 の原始根 #4次方程式 #正五角形
再び話をリセット、正五角形の面積を求めるところから。
∠P が直角の直角三角形 OAP があって、 ∠O = 36° に注目するとしよう。このとき対辺 AP ――「注目してる角がある頂点」の向かい側にある辺――の長さを 1 とすると、隣辺 OP ――「注目してる頂点」と「直角がある頂点」を結ぶ辺――の長さは cot 36° に等しい。
もう一つの辺(斜辺 OA)の長さは csc 36° に等しい。記号 cot, csc は、それぞれ cotangent, cosecant を略したもの。この二つの語は、語源的には「余角の接線」「余角の割線」というような意味だが、以下の話は語源の意味とあまり関係ない…。
隣辺を「底辺」、対辺を「高さ」あるいは「垂辺」とでも呼んだ方が、用語としては分かりやすい。その場合、縦横・上下などの位置関係が固定されていないことに注意。「底辺」というと、図の下部にある水平方向の辺を連想してしまうかもしれない…。隣辺はあくまで「注目してる角度に隣り合う辺」。作図上、どの位置にもなり得る。同じ △OAP でも ∠A に注目すれば AP が隣辺(底辺)、OP が対辺(高さ)。ここでは、直角三角形の直交する2辺(斜辺以外の2辺)について、選択された角に近い方を隣辺、遠い方を対辺と呼ぶことにする。
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2024-03-09 cot 36° の直接計算(続き) cot の加法定理
#数論 #1 の原始根 #4次方程式 #正五角形
前回の続き。今度は cot の5倍角から。 cot 18° の倍角として cot 36° を得るのは定型的なコースで、計算練習程度の意味しかない。
加法定理を使った cot (54° − 18°) の計算は、二重根号だらけで、初見では困惑するかもしれない。
(√(5 − 2√5) √(5 + 2√5) + 1)/(√(5 + 2√5) − √(5 − 2√5)) なんじゃこりゃ?w
あの手この手のトリックを重ね、華麗なのか強引なのか、とにかくコイツを簡約する。
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2024-03-07 cot 36° の直接計算 珍奇なアプローチ
#数論 #1 の原始根 #4次方程式 #正五角形
前回、正五角形の面積の計算に使う cot 36° を、間接的に―― cos 36° などの値を経由して――求めた。実は cot 36° を代数的に直接求める方法もある。
その一つは「tan 5θ の式を tan5 θ で割って4次方程式を得る」という奇手。意外とエレガントで、実質、2次方程式を一つ解くだけで cot 36° が求まる。もしかすると cot 36° の直接計算としては、この方法が最速かも…
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2024-03-05 一辺 a の正五角形の面積 cot バージョン
#数論 #1 の原始根 #4次方程式 #正五角形
「一辺 1 の正五角形の面積」(算数バージョン)は、簡単そうに見えて意外な困難を含んでいた。話をいったんリセットして、今回は素直に三角関数を使う。
正五角形 ABCDE の中心 O と各頂点を線で結ぶと、正五角形は 5 個の合同な三角形に分割される。分割されてできる三角 1 個分の面積を求め、それを 5 倍したら、見通しが良さそう。
この三角形の面積は、三角関数を使えばスッキリ表現可能。画像のように、単位円(半径 1 の円)に内接する正五角形を描いたとすると、緑の △AOE について、底辺 AE の長さは |AP| = sin 36° の 2 倍、高さ |OP| は cos 36° なので…
緑三角の面積 = 底辺 × 高さ ÷ 2
= 2 sin 36° × cos 36° ÷ 2 = sin 36° cos 36°
AE が底辺なので、三角形の高さは図の「横」方向。
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2024-03-03 一辺 1 の正五角形の面積 算数バージョン
#数論 #1 の原始根 #4次方程式 #正五角形
一辺の長さが 1 の正方形は、面積 1。
一辺 1 の正三角形の面積は √3/4 = 0.433…。
一辺 1 の正六角形の面積は、一辺 1 の正三角形のタイル 6 枚分なので、3√3/2 = 2.598…。
では一辺の長さ 1 の正五角形の面積は?
正五角形では、一つの頂点から2本の対角線を引くことができる。2本の対角線によって、正五角形は、三つの二等辺三角形に分割される。各三角形の底辺と高さを決定できるので、三つの三角形の面積を足し算すれば、正五角形の面積が求まる。原理は単純。ところが、その足し算に関連して、思いがけない困難が生じる。「足し算のどこか難しいっていうんだよ。繰り上がりを間違えたとか、桁数がものすごいとか、そんなことか?」…まぁ、やってみましょう。
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チラ裏より
「チラ裏」は、きちんとまとまった記事ではなく、断片的なメモです…
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- カラバシ『読み方のレッスン』はシリア語文語・西方言の教科書。ウェブ上で公開されている。その魅力を紹介し、第1巻全21課に注釈を付けた。 〔最終更新: 2016年5月8日〕
- ばびっと数え歌 シリア語編 (2014-02-09)
- 「シリア語の数詞の1~10」を覚えるための数え歌。「ごんべさんの赤ちゃん」のメロディーでも歌えます。 〔最終更新: 2017年12月24日〕
- ペシタ福音書における「女性聖霊・男性聖霊」の混在について (2014-12-14)
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- 「ブジュンブラにキメラアニマが現れたわ!」 お気に入りのネタだが、アニオタ以外の一般人には意味不明かも。
- チラ裏
- アニメ関係の小ネタも多い。イタリアのアニメ事情もあるよ。
字幕
- MKV埋め込み字幕用フォントのMIME問題 (2019-10-20)
- 字幕用フォントが、ロードされない事例が起きている。問題の背景・対策・対応状況。
- SSA入門 中級編 (2004-08-27)
- 二つの入門編(音声タイミング・基本スタイリング)に続くフレーム・タイミング関連の内容。古い記事で使用ツールは時代遅れだが、考え方は依然参考になるかも。
- [SSA/ASS] 高品質のフェイドイン・フェイドアウト (2005-12-21)
- 単純な
fad()
は濁りやすい。各種の代替手段を紹介。
- ASS: 縁ワイプと縦カラオケ (2006–2009)
- 字幕と音声のずらし方/縁ワイプ/字幕のリップシンク/縦カラオケ/他。古い記事だが参考までに。
哲学・ファンタジー
- 60%他の生物【人体の細胞】100%星くず (2019-02-24)
- ヒトの体は約25兆の細胞から成るが、体には65兆の細胞が…。本人以外の40兆は何なんでしょ? 〔v8: 2019年4月18日〕
- 至るところ青山 (チラ裏3題) (2019-04-14)
- 3丁目が見えない理由(先行きの不安)は、1丁目にいるからで、2丁目まで行けば自然と選択肢は狭まる。
- 不死でないから星は輝く (チラ裏3題) (2019-04-14)
- 「核融合には燃料が必要。燃料を使い果たせば反応は止まる」という当たり前のことを言い換えると「いつかは終わるから今輝いている」。
- 猫のしっぽを思い切り引っ張ることは十戒のどれに違反するか? (2014-11-23)
- 南泉は言った。「この猫の命が惜しければ、禅を一言で語れ。さもないと猫を斬り殺す」 〔最終更新: 2019年4月24日〕
- 神から見た「主の祈り」 (2004-10-04)
- 「天にましますわれらの父よ」 神「はい?」 — へリング牧師は、ジョークのような設定で深い問題を提示した。 〔最終更新: 2013年10月2日〕
- 「無断コピー以外」を禁止するライセンス (2004-10-04)
- 人間の心理的困難があまりに大きいようなので、 それに対抗するために、次のような新しいライセンス形態を思いつくほどだ。いわく…
- 妖精物語 3題 (2005-07-02)
- 王様の赤いばらと白いばら。
- 「反辞書」の著者フレッド・レスラー (2009-02-03)
- Urban Dictionary というサイトをご存じでしょうか。 ウィキペディアみたいな、でもそれよりずっと砕けた新語辞典…
リンク集