物理と数学:老人のつぶやき

物理とか数学とかに関した、気ままな話題とか日常の生活で思ったことや感じたこと、自分がおもしろく思ったことを綴る。

『物理数学散歩』の目次

2025-02-24 12:00:00 | 物理学
小著『物理数学散歩』(国土社)の目次をここに挙げておこう。

1. 単振動の合成
2. 立体角
3. 自然対数の底eの近似値
4. arcsin x+arccos x=n/2を理解する
5. 微分をして、積分を求める
6. 母関数の方法
7. 関数の定義
8. ラプラス演算子の極座標表示
9. Legendre変換
10. 分岐点の定義
11. 積分公式の場合分けはいらない?
12. ベクトル積の成分表示
13. ベクトルの3重積の公式の導出
14. rot rot A=grad divA-ΔAの導出
15. テンソル解析の学習における問題点
16. 「Levi-Civita」再論
17. 「Levi-Civitaの記号の縮約」再々論

である。次第にこれらの項目の中身についても紹介をして行くことにしよう。

この本はアマゾンコムでもAmazonのマーケットプレイスに出品されているものであるが、自著でもある。委託して販売をお願いしたのであるが、本当はとても役立つ本だと思う。

出版社との関係からうまく売り出せていない。まずはお披露目したいと思っている。定価2,000円は安いと思っている。安いと価値がないと思われるのが、残念だが値段以上の価値があると思っている。

ベクトル解析のベクトル代数関係には「Levi-Civitaの記号の縮約」再論とか再々論とかが役立つし、その前の「テンソル解析の学習における問題点」なども大いに役立つ。

古本で一時14,000円などという高値がついていたこともある。そういう高い値段がつくのは著者としては心外であるが、「安かろう、悪かろう」の本ではないのだ。

(注)日本人は自分を自慢するのはいけない、慎むべきこととなっている。私自身も日本人だからそういうことも思わないではない。しかし、外国人にとっては自己PRは普通のことである。そういう観点から自己PRすることにした。鼻につくと思う方はそう思えばいい。その覚悟はある。むしろ控えめであって他の人に役立たないよりは。

(2023.7.26付記) 実はこの本『物理数学散歩』と『数学散歩』にはかなり多くのpdf文書を無料配布するというサイトができた。これは自慢しているわけではなく、事実を述べているだけである。

3,000円もしない本の無料pdf配布のサイトができたのはなぜなのか。多分、大学での数学のある分野に役立つからと思われたからであろう。そのときに著者の私のところには数百部の本が在庫していたというのに。これははっきり言って流通の問題であった。だれが価値がない本を誰がそのpdf資料を配布したりするだろうか。

昔、外国で出版された書籍を国内で闇で印刷して売るという海賊版があった。これはその当時日本円はとても弱くてそういう外国で出版された本など購入することが普通の日本人にはできなかったからである。いまでは私たちも外国の書籍をちょっと無理すれば、購入できる時代になった。だが、国内で『物理数学散歩』のような安価な書籍の海賊版が横行するとは信じられなかった。

(2023.7.27付記) ご注意を頂いたので付記しておく。『物理数学散歩』がインターネットで14,000円もの高値がつくのなら、2.000円で何冊かを買い占めてそれを14,000円で売ることを考える人がいるのではないかという心配である。もっともなご心配だが、そういうよからぬことを考える人は成功しないことを知っておいてほしい。私は買っていただくことには反対はしないが。

ちょっと考えたらわかることだが、いくらいい本だと言っても、これは値段との相談であって、14,000円も出して買う人はいない。2,000円ならお買い得品であるが、そこを間違えてはいけない。私は14,000円という値段をつけた人がいたとは言ったが、それが売れたとは思わない。私だってたとえ喉から手が出るほど欲しくても値段を考えてやめにするからである。

小著『四元数の発見』(海鳴社)もpdf版が出回ったことがあった。いまは出まわってはいないと思うが。いまどき2,000円で買える本などあまりない。税込みでも2,200円である。それだのに無料のpdf版が出回るとはどういうことだろうか。日本の文化のために嘆かわしいことである。

安ければ価値がないと思わないでほしい。価値のあることを安くても提供していることもあるのだから。

(2023.9.2付記) 以前にaoyamaまで寄せられたコメントをここに添付する。ご参考にしてください。

amazon 高い (jogi.akatuy)
2019-11-07 02:44:51
偶々このサイトに出会い『四元数の発見』をアマゾンで購入。さらに『物理数学散歩』も読みたいと思ったが、なんと古書で29、000円の値付け。 隠居には手がでない。

Unknown (aoyama)
2019-11-08 13:09:07
『四元数の発見』の購入を御礼申し上げます。

まずはこれについて御礼を申し上げなくてはいけなかったですね。

 一日おいてからそのことを思いつくなんてちょっとずれていますね。

『物理数学散歩』購入希望 (TJ)
2019-12-04 22:45:02
私も『四元数の発見』を購入しました。
 数学の本でこんなにわかりやすかったのはこの本がはじめてでしたので、『物理数学散歩』も是非読みたいと思いました。アマゾンで古書で購入しようか迷っておりましたが、「送料込み1,000円でお分けできます」に驚きました。入手方法を教えていただければ幸いです。

Unknown (並木伸爾)
2020-03-05 00:39:58
webでLevi-civitaの記号で「ベクトル解析の初歩を1.」を読みました。大学で落第した物理を3.11を機に学び始めています。Weinbergの宇宙論が理解できればと相対論を勉強し始めています。ベクトル解析で引っかかり、先に進めません。初歩1を読みもしかしたらきっかけができると矢野先生の論考に興味を持ちました。四元数は中古がありましたので発注しました。物理数学を購入させていただきたいと思います。

物理数学散歩購入希望 (英治)
2020-03-14 11:49:34
物理数学散歩を購入したく存じます。お手数ですが手続きについてご教示くださいませ。

Unknown (aoyama)
2020-03-16 11:50:12
2回続けて『物理数学散歩』を購入したいという意向を表明された方がおられたが、どうも私の個人情報をこのコメントにさらすことを意図されておられるようなので、不信感を抱いている。

それでコメントとして私のコメントを3日で削除することにした。

 本当に当該の書を購入したいのかもしれないが、どうもそうとも思われない。人の心をもてあそぶのはいい加減にしてもらいたい。

『物理数学散歩』購入希望 (へいさん)
2020-04-10 08:58:11
大昔に教育学部で物理を勉強して以来,中学教員を定年から再任用。仕事をリタイヤしたら,もう一度物理をふりかえってみようと思います。本の購入希望と,もうひとつ「数学・物理通信」の購読方法を教えてください。

(2023.9.7付記)
一番最後の方、平さんから尋ねられた「数学・物理通信」の購読方法だが、これは無料でメール配布している。それに現在までのバックナンバーは名古屋大学の谷村先生のサイトにありますので、「数学・物理通信」で検索してみてください。

「数学・物理通信」はまったくのボランティアの仕事です。これで購読料を取るといったことがどこかであるなら、編集・発行人までご連絡ください。

ocnから入力ができなくなったが、

2024-03-28 11:54:33 | 本と雑誌
ここ数年だったと思うが、このブログはocnから入力してきたが、それができなくなった。

ところが、このブログへのアクセス法が変わったのだが、それで記事を書くのにとても便利になった。一度ブログを見るところにアクセスすれば、記事を書くをクッリクすれば、ocnを経由しないで記事を書くことができるようになった。

システムが変わったので新たなパスワードを設定しなくてはならなかったので、面倒だなと思ったのだが。その後アクセスがこんなに簡単になるとは思ってもいなかった。

グラフの平行移動による

2024-03-28 10:53:38 | 数学
グラフの平行移動による三角関数の還元公式の導き方の以前に書いたエッセイを改訂している。

ところが困ったことが起こった。sin (\pi /2 -x)は余角の公式によれば、cos xであるはずなのに -cos xとなるとの誤解が生じそうなのである。どういう風に考えたらいいのか今考えあぐねている。

ちょっとどういう風にしてこういう間違いが起こるかを記しておこう。

   sin (\pi /2 -x)=sin[-(x- \pi /2)]
                       =-sin (x- \pi/ 2)
                       =-cos x

というのである。これはおかしいのだが、どう考えたらいいのだろうか。

余角の公式を知っているので、
 sin (\pi /2 -x)=cos x
でなければならないはずなのに。意識しなかったのだが、この矛盾に一週間以上長く悩んできている。

こういう間違いをするのならば、グラフの平行移動による三角関数の還元公式の導出を諦めたほうがいいのではないかとまで思い詰めている。

しかし、考え方のどこが悪いのかを見極め、かつ、そのまちがいをしないための処方も与えることが必要だと思っているのだが。まだどこが悪いのか、明瞭には、わかっていない。

                      



放心状態にはならないが、

2024-03-27 11:15:46 | 本と雑誌
数学・物理通信を発行した後は普通には放心状態になるので、発行後の数日は何もしたくないのが普通である。

今回はそういうことはあまり感じないが、それでもこのブログを書くのが遅れた。それはまず昨日検索された自分のブログを自分でも再度読んで細かい助詞「テニヲハ」を修正したり、その他の付加の文章を書いたりするからである。

そういうことはすべきでないというお考えも読者の方にはあろうが、インターネットでは検索される方はなんらかの知識とか情報の取得を目指しておられるかもしれないから。

お前みたいなおせっかいは要らないと言われれば、まさにその通りである。だが、生きているということはそういうことであろうと思っている。

数学・物理通信14巻1号の発行

2024-03-26 19:18:58 | 物理学
先刻ようやく数学・物理通信14巻1号の発行をした。
一部の方には届かないという管理者からのメッセージがすでに届いている。

これはしかたがない。というのは人間いつまでも生きられるという訳でもないし、メールのアドレスなど簡単に変わってしまうことがあるからだ。

それでも100人を超す方々にお送りしているのではないかと思う。すべて自己満足ではあるのだが。

発行を続けたからといって、誰からも褒めてもらえるわけでもない。それが嫌なら、発行しなければよいだけの話である。

今号で通巻120号の発行を達成したらしい。



地図

2024-03-26 15:01:18 | 数学
昨日だったかの遠山さんの数学の広場4の『3次元の世界』(ほるぷ出版)の地図のところを読んでいる。球面である地球を平面に射影してつくる地図である。

この数学の広場は中学生を対象にした本であるから仕方がないのだが、この地図の射影の方法は微分積分を使うのでという理由でこの本には書かれていない。

残念である。このシリーズはその後、最近になって図書出版から復刊されたので、そのときに数学教育協議会のメンバーによって再点検されているから、このこともきちんと補筆されているだろうか。

わざわざ地図のことを書いた専門書とかを探させなばならないのは面倒であると考えるのは私だけであろうか。

もし私がこれらの本を読んで意見を言う立場なら、絶対にこの点を補えという意見をいうだろう。

球面のこと

2024-03-25 12:52:42 | 数学
遠山啓著作集の「三角関数」のところを読んでいたら、球面のことが出てきてそれが説明が簡略なために私には理解ができなくなった。

以前に読んでいたときにもそうだったらしく、フリクション・ボールで何か「わかりやすい本を読むこと」と赤字で書き加えていた。

球面幾何のことがわからないのだ。同じ遠山先生の「数学の広場」シリーズの『3次元の世界』(ほるぷ出版)を取り出してきて、いま読んでいる。これは中学生を読者対象としているためであろうか、いまのところあまり読み難くはない。もっともこの本を読んだことのある中学生がどれくらいいるのだろうか。

私の子どもが中学のころだったか高校のころだったか、「数学の広場」シリーズを学校の図書館で借りては読んでいたが、どれくらい理解しただろうか。

もっとも私のように84歳で初めて読んでいるのはあまりにおそすぎるだろう。




昔のブログの修正

2024-03-24 14:48:00 | 数学
毎回、ブログを書く前には検索された私のブログがどれかが私にはわかるシステムなので、それを読んで修正をするのがならいとなっている。

今日もそれにかなり大きな時間を費やしてから、今日のブログにとりかかっている。ブログを読みに来る人はどういう人なのかはわからない。

単に知識を探して私のブログを訪れたのか、それとも、楽しみで訪れているのか。またはそれぞれが両方ともあるとして、それがどのくらいの比率なのかだとか。

さすがにそういうことまでは著者である私にはわかりかねるが、それでもなんらかの知識の探求の手がかりを求めて訪問してもらっているとすれば、そのお役にいささかでも立てるといいのだがと考えている。

私の場合にはメール発行の「数学・物理通信」への手引きともなればいいとも
考えている。ブログはそこへの単なる入り口かもしれないので。

名古屋大学の谷村省吾先生のサイトに「数学・物理通信」のすべてのバックナンバーはある。

いつもながら、谷村先生、ご尽力ありがとうございます。

(2024.3.25付記)昨日このブログを見てから、「数学・物理通信」の検索をしてみた。2022年までは確かにすべてバックナンバーが谷村先生のサイトにあるのだが、昨年の2023年分はバックナンバーが掲載されていないようだ。

しかし、これは谷村先生のご厚意でなされていることなので、私から何かをお願いできる筋のことではない。谷村先生も御歳になって学科内の業務等でも忙しいのであろう。それとも私からの「数学・物理通信」が先生のところに届いてないとか。

一度メールをしてみなくてはならないだろうか。


三角関数の還元公式

2024-03-23 10:39:31 | 数学
グラフの移動による三角関数の還元公式の導出については数学・物理通信に書いたことがある。それを改訂したいと思い出している。

これは「三角関数の還元公式(3)」というタイトルのエッセイであったが、それを今読み返してみるとその記述がいたるところで気に入らない。

第一、それを書いた本人である私が一瞬これは何を言いたかったのだろうというような書き表し方をしていたりする。これではその意図はいいとしてもエッセイとしては不合格であろう。

そうそう、三角関数の還元公式という用語を聞かれたことのない方々が大多数であろう。三角関数には負角の公式だとか、余角の公式、補角の公式というものがある。それ以外にもそれとよく似た公式がある。それらをまとめて還元公式というのだ。

三角関数の還元公式の導出については「数学・物理通信」にその(4)まで掲載している。インターネットで検索していただければ、名古屋大学の谷村先生のサイトで読めるので関心のある方は読んでみて下さい。

「三角関数の還元公式」という用語は東京都立戸山高校の名物数学教師だった武藤徹先生の命名ではないかと思う。

(2024.3.24付記)「三角関数の還元公式」について3つも4つもシリーズのエッセイを書いたりして、何の役に立つのだ。「そんなことは労力の損失だ」。そんな声が世の中の賢明な学者先生から聞こえてきそうだ。御説ごもっともである。

だが、徹底的に調べておきたいという性質なので仕方がない。こういう考察は何の役にも立たないかもしれないが、高校で数学を教える先生方は知っておくべきだろうと思っている。それを全部教えるなどということは絶対ないのだとは思うが。




e-Learningのコンテンツ

2024-03-22 19:55:08 | 数学
高校数学についてのe-Learningのコンテンツを大学を退職した2005年から2006年にかけて書いた。これは在職中に共同研究者の方だった方とも共著であったが、もっぱら私が書いた。

そのときにある出版社の方がかなり真剣にその出版について考えてくれて出版を誘われたのだが、三角関数の部分が欠けていたのでお断りをした。

それで三角関数の部分を書こうという気はあるのだが、どうも筆が進まない。他の部分に比べて現在書きかけの原稿がなんだか陳腐な感じがする。他の三角関数の本とかも覗いてはいるのだが、どれもどうも私の意には沿わない。

どうしてだかわからなかったのだが、最近ようやく気がついた。高校数学の他の分野はある程度私の知っている方々の高校数学、または、中学校での数学の成果を取り入れているのに、三角関数の分野にはどうも愛数協の方々もそれほど教え方の研究の蓄積がなかったからではなかろうか。だから、それが如実に私の書く三角関数の箇所にも影響を与えているのでは?

そう思って民間教育団体「数教協」の編纂した数学指導法事典とかを改めて見たのだが、「数教協」の数学教育については中学校までの内容という色彩が強くて、三角関数についての記述が少ない。このことは前からわかっていたことだが、それが私にも影響が及んでいるということらしい。

それで数教協の指導者だった遠山啓先生の著作集に書いてある三角関数の部分を再読をはじめた。昔読んだときにはあまり感銘を受けたという気がしなかったが、それでもさすがは遠山さんである。ただ、この著作集では図が小さすぎて、いいことが書かれているのに、十分にインパクトを与えられていない。

しかし、もっと大きな明瞭な図を描いて、文章を洗練すれば、この箇所はもちろん、いい記述になるだろうと想像している。ただそのままの引き写しでは新しい本とはならない。さてどうしたものか。



編集の合間に

2024-03-22 19:37:31 | 本と雑誌
編集の合間に三角関数の加法定理についてのエッセイを書き始めたが、なかなか仕事が進みそうにない。

これは前に書いた一般角についての三角関数の加法定理の続編のつもりである。編集作業はなかなかストレスがたまる仕事なので、どうしても気分転換をする必要がある。

それで暇を見つけては以前に見た二つの文献を読み返していたが、わからなかったところがわかったり、著者の書き損じというかミスプリとかが少しづつわかってきた。

それであわてて原稿を書いたが、これはもちろん紙の上にフリクション・ボールでほぼ一日かけて書いた。これをlatexで入力してから文章を見返すというような作業があるのだが、なかなかそこまでは行かない。

そうこうするうちに三角関数の還元公式についての関心が復活してきた。それでまた昔の原稿を見返ししたりしている。かなり突っ込んで議論したつもりだったが、これが十分にされていないのではないかと思っている。

なんでも一番本質的なことがわかればそれでいいではないかと他のことである方から言われたが、どうも私はそういう普通の人がそれでよしとするところも全部あたって理解したいという欲求が強いらしい。

それがいいことばかりでないのはこの方の忠告通りかもしれないのだが。

ようやく編集が終わった

2024-03-21 12:53:05 | 本と雑誌
数学・物理通信14巻1号の編集がようやく編集が終わった。

もっとも私はあわて者だし、せっかちだからミスを指摘されることはしばしばである。こういう性格はなかなか治らない。中学生だったころから、いやそれよりもぐっと以前からであろう。

小さいころに朝鮮(今の韓国)に住んでいたが、母と一緒に親戚にいき、そこで母が祖母とか自分の姉妹と話し込んでしまい、お祭りに行きそうにないのでしびれを切らして自分一人で出かけてしまい、それも行くところが分らなくなって、一人で泣きながら自宅に帰ってきたという経験がある。

そのときに祖母が家にいたのか、それとも誰もいなくて、しばらく家の外で待っていたのかも覚えていない。

時間が経って家に帰って来た母に叱られた覚えがある。お祭りでおもしろいことがたくさんあったのにと。これはほんの4,5歳のときのことである。



続・セガの「(基礎)線形代数講座」

2024-03-20 10:29:42 | 数学
以前に、セガの開発技術部の「基礎線形代数講座」が優れたテクストであるとのブログを書いたが、またまた書く。

前の感心したところは主として、私もある程度は得意としているLevi-Civitaの記号に関してであった。

その後、このテクストから離れていたが、いろいろな仕事がだいぶんでき上りかけているので、久しぶりに回転のところを読んでみた。まだ全部を読んでいるわけではないが、主として、四元数による回転とベクトルの回転(いわゆるロドリーグの回転)の記述を読んだ。

いわゆるテンソル記法というのだろうか、そういう記法を用いているために議論がすっきりしていて、ロドリーグの回転を行列に表すところなどがほぼ暗算でできる。これは優れたテクストである(注)。

あまりに感心したので、セガに手紙を書いてみようかと思い始めた。実際に手紙まで書くことに踏み切れるかどうかはわからないが、宛先がわからないのが難点である。

もっともこのテクストが載ったインターネットのサイトがあるので、そこになんらかのメールか何かを送ることができるかもしれない。

(注)泥臭い方法でこれらの空間回転を取り扱っているのが、小著『四元数の発見』(海鳴社)である。もちろん私の本はテンソル記法に詳しくない人のためには読みやすい本であろう。

しかし、ちょっとテンソル記法になじんでいる人にはこのロドリーグの回転の取り扱いと四元数による空間回転の取り扱いが簡明にできる、このテクストはとてもお勧めである。私の本だけではなく、他の人の本もこのテンソル記法で書き直すことが盛んになるのかもしれない。

さしづめ、私の本とか金谷健一先生の書『幾何学と代数系』(森北出版)が対象となろうか。もっとも金谷先生の書にはすでにテンソル記法も十分紹介されてはいるのだが。



編集作業も終わるか

2024-03-19 14:28:18 | 本と雑誌
そろそろ編集作業も終わるだろうか。

いやいや、「数学・物理通信」14巻1号のことである。わたしのエッセイと今回初登場のNさんの論文直しがある。

それらを修正してもらったり、または、しなくてはならない。これが終われれば編集作業は終わりとなる。少なくとも14巻1号は3月中に発行したいのだが。

できるか、できないか。それは終わって見なければわからない。





方向余弦

2024-03-18 10:19:59 | 数学
方向余弦とは解析幾何の用語であろうか。いま方向余弦と入れようとしたら、方向予言と出てきた。

方向余弦とは英語ではdirection cosineとでもいうのだろうか。ある直線の直交座標系のx, y, z軸となす角の余弦をいう。ある直線をその直線が直交座標系の原点Oを通るように平行移動させて(回転移動させてはいけない、方向が変わってしまうので)、その直線の直交座標系のx, y, z軸となす角をA, B, Cとする。このときcos A, cos B, cos Cをその直線の方向余弦という。

よくわかる数学書と言われている、マセマの馬場先生の『ベクトル解析』にも詳しく見たわけではないが、このような説明である。ところがこれだけではまだ釈然としない感じを私は持っていた。

方向余弦についてあまり違和感を持たなくなったのは、空間の直交座標系に原点Oから大きさ1の各座標軸に沿ったベクトル\bm{e}_{1}, \bm{e}_{2}, \bm{e}_{3}を考え、これとその原点を通る直線のなす角の方向余弦は、その直線上の大きさ1のべクトル\bm{u}とのスカラー積(内積)をとれば、それが方向余弦であると理解してようやく方向余弦について納得した感じをもった。

すなわち、
cos A=\bm{e}_{1}・\bm{u}, 
cos B=\bm{e}_{2}・\bm{u}, 
cos C=\bm{e}_{3}・\bm{u}
である。・はスカラー積のつもりである。単なる数の積をここでは意味しない。

スカラー積を数学書によっては<\bm{e}_{1}, \bm{u}>のように表すことも最近では多い。\bm{e}_{1}・\bm{u}:=<\bm{e}_{1}, \bm{u}>である。

私みたいに物わかりがわるい人はあまりいないと思うが、他の人は方向余弦をどのように理解しているのだろうか。すんなりと受け入れておられるのだろうか。